La valeur moyenne d'une propriété physique 
, quand le
système se trouve dans l'état décrit par 
, est donnée par
ou, plus simplement
si la fonction d'état 
est bien normée, c.à.d. si
Toujours dans l'hypothèse que la fonction d'état 
est
normée, une expression équivalente du postulat 5 est:
La probabilité de trouver la valeur propre 
(de l'opérateur
hermitique 
), lors d'une mesure de la propriété 
effectuée au temps t sur le système quantique préparé dans
l'état décrit par 
, est donnée par le carré du module de
la projection de la fonction d'état 
sur la fonction propre
associée à la valeur propre 
:
où la projection 
est définie
par
et il était supposé que les fonctions propres 
sont
orthonormées.
Interprétation:
Pour appréhender ce postulat, il est utile d'imaginer un très
grand nombre de répliques identiques du système, préparées toutes
dans le même état initial, 
. Selon le postulat 4, la
mesure de 
sur chacune des répliques, produira une valeur de
qui est précisément une des valeurs propres 
.
Cependant à priori, on ne peut pas prédire laquelle de ces valeurs
propres sera obtenu lors de la mesure effectuée sur une réplique
donnée, et l'ensemble des résultats revêt un caractère
statistique. Selon le cas, la distribution statistique des résultats
de mesure de 
aura les caractéristiques suivants
est une fonction propre (elle décrit un état
propre) de 
associée à la valeur propre 
,
c.à.d.
alors des mesures répétées de 
donnent 
toujours. Cette valeur serait donc observée avec certitude.
n'est pas une fonction propre de 
alors les
mesures répétées de 
donnent chaque fois une valeur
propre 
différente: La mesure met le système dans l'état
propre 
de 
associé à la valeur propre
observée. Chaque valeur propre 
a une probabilité
d'être observée qui est donnée par (1.13).
La valeur moyenne de 
est
Démonstration:
L'équivalence des deux formes du postulat 5, exprimée par
(1.15), se démontre de la façon suivante: on sait
que 
peut être développée sur la base orthonormée des
fonctions propres 
de 
. On a ainsi
Montrons d'abord que les coefficients 
sont données par les
'projections' de (1.14). En effet
En passant de la deuxième à la troisième ligne, on a utilisé
l'orthonormalité des 
. À cause du 
(
vaut 0 si 
et 1 si 
) qu'elle contient,
la somme sur 
se réduit à un seul terme, 
. On a donc bien
Substituons maintenant ce développement de 
, (1.16)
, dans (1.12); on obtient
Finalement, rappelant (1.17), on obtient
